삼각함수와 미적분을 마스터하다
수학으로 배우는

파동의 법칙

Transnational College of LEX 지음
이경민 옮김
Gbrain 펴냄

2013.10.9.

세상의 모든 것은 파동이다.
내 심장의 규칙적인 움직임도, 빛도, 소리도 파동이다. 푸리에 해석은 그런 파동을 해석하는 수학적 기법이다. 이 책은 푸리에 급수와 푸리에 계수에 대해 아주 쉽게 설명한다. 그도 그럴 것이 이 책은 초등학생과 중학생이 포함된 수학 스터디 그룹이 만든 공동 기획물이다. 푸리에 해석을 어떻게 하면 쉽게 이해하고 설명할 수 있을까 함께 고민하고 함께 모니터링 하면서 만든 저작물이다. 일본에서 만들어졌지만 여러 나라에서 공식 교과서로 사용되고 있다고 한다. 그럴만 하게 내용이 좋다.

나는 수학을 너무 압축적으로 배웠다.
수식으로만 증명했고 정제된 공식만 외웠다. 이책은 삼각함수의 적분을 설명하면서 가위와 풀로 삼각함수의 그래프를 오려 붙여가며 한주기 동안의 삼각함수 적분이 0 임을 설명한다. 단순한 시도지만 수식만으로는 느낄 수 없는 생생한 직관을 얻었다. 논어에 학이불사즉망(學而不思則罔)이라는 구절이 있다. 배우기만 하고(學而) 생각할 여유가 없었기 때문에(不思) 나는 수학에서 망했던 것이다(則罔).

이 책의 하일라이트는
삼각함수로 구성된 푸리에 해석에 오일러 공식을 적용해서 간결한 복소수 표현으로 바꾸는 과정을 설명하는 부분이다. 복소평면과 삼각함수 사이의 관계를 표현하는 오일러 공식과, 모든 함수를 일관된 형태로 표현하는 매클로린 전개를 이용해서 푸리에 급수를 아름답도록 간결한 표현으로 바꾸어가는 과정을 멋드러지게 설명한다.

저술과 번역 모두 좋았다.

2024.6.3.

이제 e의 복소지수 수식을 보면 그 이면의 코사인 함수와 사인 함수가 보인다. 오일러 공식과 친해진 것이다. 기쁘다.

독서를 통해 푸리에 급수가 무엇인지, 푸리에 변환이 무엇인지 흡족하게 배웠다. 그 과정에서 미분과 적분도 충분히 연습했다. 대학 전공 공부 전에 이 책을 봤다면 공업수학 빵구는 면했을 것이다. 아쉽다.

훌륭한 번역이었다 (번역 별 3.5 ★★★☆).

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독서를 마칠 때 쯤 ChatGPT가 그려준 그림을 보고 많은 것을 생각했다. 그림을 보고 생각해야 더 생생하게 각인되는 무엇이 있는 것 같다. ChatGPT가 제시한 그림이 독서를 정리하는데 도움됐다.

회로이론의 개념과 회로 해석을 명확히 배울 수 있는 정통 입문서

회로이론

Fawwaz T. Ulaby, Michel M. Maharbiz 지음
박병국, 조성재, 강인만, 김중빈 옮김
한빛아카데미 펴냄

문득 라플라스 변환과 푸리에 변환이 궁금해졌다. 그래서 책을 고르는데, 어라? 이게 내가 배운 과목에 있었어? 게다가 그 과목이 전공 필수였어? 여태껏 까맣게 잊고 살았다. 그렇게 몇십 년이나 지나서, '문득 그냥 알고 싶어져서' 전공필수였던 회로이론을 다시 공부했다.

페이저(Phasor) 변환, 라플라스 변환, 푸리에 변환이 재밌었다. 이 도구들을 사용하면 많은 문제를 풀 수 있었다. 이 도구들의 핵심 기초는 오일러 공식이었다. 삼각함수와 e의 복소 지수를 결합한 오일러 공식 덕분에 주기 함수를 복소 평면 위에서 해석할 수 있게 됐다. 새삼 삼각함수, 오일러 수 e, 복소 지수 체계의 아름다움을 느꼈다.

페이저(Phasor) 변환, 라플라스 변환, 푸리에 변환으로 문제를 풀면서 과학과 공학의 차이를 생각했다. 이 도구들을 쓰면 항상 답을 구할 수 있었고 그 과정에서 쾌감을 느꼈다. 그게 과학과 공학의 차이인 것 같다. 답이 없는 문제를 연구하는 것이 과학이고, 답이 있는 문제를 푸는 것이 공학인것 같다.

좋은 전공 교재였지만 가끔 오타가 있었다. 확고한 지식이 없는 입장에서 책의 내용을 의심하게 되어 피곤했다. 판을 거듭하면서 정정되면 좋겠다 (번역 별 3 ★★★).

수학자가 들려주는 수학이야기

푸리에가 들려주는 삼각함수 이야기

송륜진 지음
자음과모음 펴냄

삼각함수를 설명한다. 그런데 성인 눈높이에는 적당하지 않았다. 난이도가 너무 낮았고 설명이 딱딱했다. '수학자가 들려주는 수학이야기'는 내가 좋아하는 시리즈다. 이 책에 한정해서 재미를 느끼지 못했다. 추천하지 않는다.

만화로 쉽게 배우는

푸리에 해석

Shibuya Michio 지음
홍희정 옮김
성안당 펴냄

푸리에 해석이란 시간축에서 주기를 갖고 무한히 반복되는 신호를 주파수 축에서 해석하는 것임을 배웠다. 부제목처럼 정말 '만화로 쉽게 배울' 수 있었다. 목차별로 인상적인 구절을 발췌한다.

자연스러운 번역이었다 (번역 별 3.5 ★★★☆).

베른하르트 리만과 소수의 비밀

리만 가설

존 더비셔 지음
박병철 옮김
승산 펴냄

수학에는 여러 분야가 있는데, 소수(Prime Number)에 대한 연구는 정수론에 해당한다. 리만(1826~1866)은 여기에 해석학(미분,적분을 연구하는 분야)을 도입했다. 그 결과 해석적 정수론이라는 새로운 분야가 탄생했다.

리만은 직관적인 수학자였다. 그의 수학 강의는 인기가 없었는데, 그에게는 중간 단계 증명들이 자명해 보여서 설명 없이 넘어가곤 했기 때문이다. 리만은 1859년 젊은 나이에 베를린 학술원의 회원으로 선출되는 영예를 누린다. 이때 '주어진 수보다 작은 소수의 개수에 관한 연구 On the Number of Prime Numbers Less Than a Given Quantity' 논문을 제출한다.

이 한 편의 논문은 수학의 역사를 바꾸어 놓았다.

소수(Prime Number)는 양자역학과 관련있다. 양자역학은 물질과 에너지가 더 이상 쪼개지지 않는 알갱이들로 이루어져 있다고 얘기한다. 더 이상 쪼개지지 않는 알갱이와 소수는 닮았다. 소수는 소숫점으로 쪼개지지 않고, 1과 자기 자신 이외의 숫자로 나누어지지 않는다.

프린스턴 고등과학원에서 어떤 물리학자와 수학자가 우연히 만났을 때, 그들은 리만 가설의 공식이 서로의 공통 관심사였음을 발견한다.

1972년 봄, 정수론을 공부하던 박사 과정 학생과 한 물리학자가 프린스턴 고등과학원에서 우연히 마주쳤다. 젊은 학생은... 휴 몽고메리였고 물리학자는... 프리먼 다이슨이었다... 그날까지 다이슨과 나(몽고메리)는 단 한 차례의 대화와 한 장의 메모지를 주고받았을 뿐이었지만, 그 짧은 시간 동안 주고받은 정보는 실로 엄청난 양이었다...

잘 만든 수학책이다. 자잘한 내용은 '그냥 나를 믿어달라'며 감추고 놓치면 안 되는 내용은 그림과 함께 설명하여 그 아름다움을 느끼게 한다. 수많은 시행착오를 거듭하며 성취된 수학적 발견 사이에 줄거리를 부여하여 그 맥락을 이해하게 한다. 기회가 닿을 때마다 몇 번이고 더 읽을 생각이다. 승산의 책은 믿을 수 있다.

번역으로 인한 스트레스가 전혀 없었다. 훌륭했다 (번역 별 4.0 ★★★★).

세상에서 가장 아름다운 수학공식

리오네 살렘 外 지음
코랄리 살렘 그림
장석봉 옮김
궁리 펴냄

삽화를 곁들인 짤막한 이야기를 빌어 수학을 설명한다.
이야기가 많고 수학의 난이도는 낮다.
기분 좋게 읽었다. 좋은 번역이었다 (번역 별 3.5 ★★★☆).

솔직히 말하면, 허수를 사용하지 않고도 이 식들을 유도해 낼 수 있었답니다. 하지만 그건 너무 복잡해서... 아무튼 이제 여러분들도 i 같은 추상적인 수를 사람들이 왜 만들어 냈는지 이해가 가실 겁니다. 그런 걸 잘 활용하면 수학이 좀더 쉽고 재미있어지거든요.

그러다 1993년 미국 캠브리지 대학의 앤드루 와일즈라는 수학자가 페르마의 이 마지막 정리를 증명해 내는 데 성공했다. 그가 내놓은 증명은 엄청난 분량이었다. 정말로 책의 여백에 적기에는 그 양이 너무 많았다.

수학자들

세계적 수학자 54인이 쓴 수학 에세이

마이클 아티야, 알랭 콘, 세드릭 빌라니, 김민형 外 지음
장 프랑수아 다르스, 아닉 렌, 안느 파피요 엮음
권지현 옮김
궁리 펴냄

2008년, 프랑스의 고등과학연구소에 모여 있던 세계적인 수학자들의 사진과 그들의 짤막한 에세이를 모아 책으로 만들었다. 책을 읽고, 수학자들이 진심으로 사랑하는 것들 중 하나가 칠판임을 알게 됐다. 무난한 번역이었다 (번역 별 3.5 ★★★☆).

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수의 황홀한 역사

NUMBER, The Language of Science

토비아스 단치히 지음
심재관 옮김
지식의숲 펴냄

저자 토비아스 단치히는 1884년에 태어났다. 그는 유명한 수학자 앙리 푸앙카레의 제자다. 얼핏 보면 무척이나 오래된 사람 같은데, 이 책은 1930년에 1판이 발행되고 1953년에 4판이 발행된 현시대의 책이다 (저자는 1956년에 사망).

자연수, 유리수, 무리수, 실수, 복소수, 행렬 등으로 수체(數體)가 발전해 온 역사를 설명한다. 수학과 이야기의 균형이 좋다. 어렵지만도 않고, 쉽지만도 않다. 고등학교 수학을 어렴풋이 기억하는 정도면 재밌게 즐길 수 있다.

숫자 개념의 본질을 생각해 본 적 있는가? 숫자 개념은 대응(짝짓기) 개념과 배열(순서짓기) 개념 덕분에 존재한다. 이 사실이 처음부터 끝까지 꾸준히 환기된다. 그리고 마지막에 이르러 칸토어의 초한수(超限數) 개념을 설명할 때 중요하게 사용된다. 마치 시작할 때 심어둔 복선을 마무리하면서 멋지게 회수하는 잘 기획된 추리소설을 보는 것 같았다.

수학적 귀납법이라고도 불리는 반복적 추론(reasoning by recurrence)의 사례들을 보면 인간은 분명 "무한정 반복되는 동일한 행위"를 충분히 인식하고 활용할 수 있는 지적 능력을 갖추고 있다. 여기서 더 나가 인간은 "실제 무한" 자체를 수학적 연구 대상으로 탐구한다. 수학자 게오르크 칸토어는 "무한"을 연구하기 위해 아름답도록 창의적인 아이디어를 제시했다. 하지만 칸토어의 노력에도 불구하고 무한에 대한 연구는 곤란한 역설을 만나 멈칫하고 만다. 인류는 과연 무한을 감당할 수 있을까?

책이 시종일관 강조하는 것이 있다. 하나는 수학자들이 수학을 하는 이유다. 수학자들은 쓸모 때문에 수학을 하지 않는다. 수학자들은 수학을 위해 수학을 한다. 그리고 또 다른 하나는 수학이란 학문의 성격이다. 수학은 수많은 시행착오가 누적돼 만들어진 학문이다. 수학은 신이 선물한 완전무결한 무엇이 아니라, 많은 헛점을 끌어안은 채 살아 성장하는 무엇이다.

책은 수학적 사실과 실재적 사실의 관계에 대해 고찰하며 마무리된다. 마지막 문장이 무척 철학적이었다. 번역 좋았다 (번역 별 4.0 ★★★★).

몇 년이 지나면 우리 몸의 세포는 모두 바뀐다. 우리의 생각, 판단력, 감정, 열망 역시 비슷한 변화를 겪는다. 그렇다면 '나'라고 지칭되며 항구성을 부여받는 존재는 과연 무엇인가? '나'라는 존재는 기억이라는 줄에 순간이라는 구슬을 엮어 만든 것일까?

만화 미적분 7일 만에 끝내기

이시야마 타이라, 오오가미 타케히코 지음
정세환 옮김
살림Math 펴냄

내게 이렇게 좋은 책이 있었나? 

확실히 어떤 책에서 가치를 발견하고 못하고는 내가 준비가 되어있고 아니고에 따라 결정되는 것 같다. 짧은 시간 동안 고교 수준의 미적분을 제대로 복습할 수 있었다. 미적분을 왜 공부하는지 (공부해서 어디다 써먹을 것인지) 자주 환기시켜주는 것이 좋았다. 그리고 "미적분학의 기본 정리"를 증명하면서, 왜 증명하는지 (이 대단한 충격을 독자들이 함께 느꼈으면 좋겠다)를 강조하는 것이 좋았다. 이유를 알고 싸워야 제대로 싸울 수 있다. 

번역을 거쳤다는 사실을 전혀 느끼지 못할 만큼 좋은 번역이었다 (번역 별 4.5 ★★★★☆).