오일러가 사랑한 수 e

e: The Story of a Number

엘리 마오 지음

허민 옮김

경문사 펴냄 (경문수학산책 16번째)

2014.10.19.

로그에 대해, 미분과 적분에 대해, 지수함수에 대해 설명한다. 그리고 그 맥락 속에서 숫자 e가 가진 의미를 다각도로 조명한다. 이 책은 수학 이야기 책이다. 하지만 재미있는 이야기만 다루지 않고 수학적 의미도 충실하게 설명한다. "수학"과 "이야기"의 비중이 균형을 이루고 있다. 독서가 즐거웠다.

주석을 책 맨 뒤에 몰아서 편집하지 않고 각 장 끝에 정리해서 붙여놨다. 상당히 편리한 편집이었다. 번역도 훌륭했다 (번역 별 4.0 ★★★★). 앞으로 경문사의 책을 더 찾아보게 될 것 같다.

2019.10.26.

수학, 철학, 종교의 만남

무한의 신비

애머 악첼 지음
신현용, 승영조 옮김
승산 펴냄

수학자들은 오래전부터 가무한(potential infinity) 개념을 사용해왔다. 바로 '극한'이다. 예를 들어 케플러(1571~1630)는 타원의 넓이를 아주 많은 '무한소'의 삼각형으로 나누어 넓이를 계산했다. 삼각형의 수를 무한으로 증가시킬 때 전체 넓이의 극한치가 어떻게 결정되는지를 계산해서 타원의 넓이를 알아냈다.

칸토어(1845~1918) 이전까지, 실무한(actual infinity)은 수학자들에게도 낯선 개념이었다.
칸토어는 용감하게도 실무한을 정면으로 직시하며 연구했다. 그는 무한에도 등급 차이가 있음을 인지했다. 그는 무한집합의 농도 차이를 다루는 '연속체 가설'을 증명하려고 시도했다. 그러나, 훗날 괴델(1906~1978)이 칸토어의 노력은 증명 불가능한 문제를 풀려는 노력이었음을 '불완전성 정리'를 통해 증명한다. 칸토어가 정립한 무한론과 집합론은 수학의 중요한 일부가 된다.

책에서 설명하는 '연속체 가설'은 이름이 주는 느낌과 다르게 무한의 농도가 불연속적임을 가정한다. 무언가 물리학 분야의 양자론이 연상되는 대목이 있어서 흥미로왔다.

괜찮은 번역이었다 (번역 별3.5 ★★★☆).

나는 파이값(3.141592...) 같은 수에서 무한히 계속되는 "...(쩜쩜쩜)"을 볼 때마다 어떤 목표를 향해 "달려가는" 무엇을 상상했다. 하지만 이번 독서에서 "...(쩜쩜쩜)"은 수직선 상에 "고정된" 좌표임을 새롭게 인식했다. 테드 창의 소설 "네 인생의 이야기"에서 "흘러가는" 시간을 바라보는 외계인의 인식체계가 그런 것 아니었을까?

"칸토어가 들려주는 무한 이야기", 그리고 "로지코믹스"와 함께 보면 정말 좋다.

틀리지 않는 법

How not to be wrong, 수학적 사고의 힘

조던 엘렌버그(1971~) 지음
김명남 옮김
열린책들 펴냄

틀리지 않는 선택을 하고 싶을 때가 있다. 불확실한 추정만 가능한 상황에서 합리적 선택을 내려야 한다면 우선 이 책을 보는 게 좋겠다. 이 책은 "수학책"이다!

2차 세계 대전 당시, 전장에서 살아 돌아온 전투기들에 남은 총탄 자국 통계치를 근거로 전투기에 덧댈 보호 강판의 위치를 선택해야 하는 통계학자가 있었다. 통계학자는 총탄의 흔적이 가장 많은 곳이 아니라 전혀 없는 곳에 보호 강판을 덧대야 한다고 결정했다. 그곳을 타격 당한 전투기는 한 대도 돌아오지 못한 것이라고 통계를 해석했기 때문이다.

책은 "통계의 이면을 보라"는 주장을 밀도있게 펼친다. 현대 과학계는 연구 성과의 판단을 위해 "통계적 유의성 검정"을 많이 사용한다. 하지만, "통계적 유의성 검정"은 "모순"을 통해 분명하게 증명하는 방식이 아니라 "낮은 가능성"을 통해 간접적으로 증명하는 방식이다. "낮은 확률로 일어나는 일"은 현실세계에서 생각보다 자주 "확실하게" 일어난다. 다시 말해 현대 과학은 생각보다 확고하지 않다. 우리는 과학조차도 맹신해선 안된다.

"생각"하고 "판단"해야 한다.

생각하는 능력을 갈고 닦고 싶은 사람이라면 수학책을 읽어야 한다. 수학책에는 문학적 아름다움과 철학적 깊이가 있다. 이 책은 가치가 선형적이지 않음을 그래프로 설명하는데, "중용"과 "과유불급"을 이보다 간결하고 분명하게 설명하는 방법을 보지 못한 것 같다.

수학적 판단이 필요한 이유가 "실천"을 위해서라고 이야기하는 저자(수학 영재)의 적극적인 자세가 신선했다. 괜찮은 번역이었다 (번역 별 3.5 ★★★☆). 상당히 많은 분량의 글을 훌륭하게 번역했으나 수학적 엄밀함에 어긋나는 문장이 2곳 정도 있는게 아쉬웠다. 그것만 빼면 역자의 노력에 감사하고 싶은 번역이었다.

이야기로 아주 쉽게 배우는

미적분

더글러스 다우닝 지음

최태환 옮김

이지북 펴냄

미적분을 쉽게, 그리고 제대로 설명해주는 책이다. 감동했다.

중학생 수준의 수학 감각만 갖고 있으면 미적분을 이해할 수 있다. 미적분 공식을 강요하는 것이 아니라 그런 공식이 나온 이유를 설명하고 증명한다. 그런 설명과 증명을 지혜로운 왕과 합리적인 궁전 식구들이 오손도손 재미있게 펼쳐낸다. 내 아이(초등학생)가 재미있게 읽었고, 나 자신(40대 아저씨)도 재미있게 읽었다.

멋진 번역이었다 (번역 별4 ★★★★).

The Drunkard's Walk

춤추는 술고래의 수학 이야기

레오나르드 믈로디노프 지음

이덕환 옮김

까치 펴냄

확률과 통계가 다르다는 것을 알게 됐다.

확률은 근원적인 원칙을 분석해서 세상을 예측하는 것이다. 연역의 세계다. 반면 통계는 세상에서 관측된 자료를 근거로 근원적인 확률을 추정하는 것이다. 귀납의 세계다.

여론 조사에 대한 이야기도 나온다. 통상 여론조사 결과에 대해 "오차 범위 안에서 어떻다"라는 분석 기사가 나오곤 하는데, 오차범위 안에서 우열을 논하는 것은 전혀 의미 없는 짓이라는 사실을 알게 됐다.

레오나르드 믈로디노프는 유머가 풍부한 작가다. 과학과 수학을 쉽게 설명하는 재주가 있다. 이 책도 무척 즐겁게 읽었다. 번역의 경우 초반 몇 군데 아쉬운 부분도 있었지만 전반적으로 좋았다 (번역 별3.5 ★★★☆).

허수

시인의 마음으로 들여다본 수학적 상상의 세계

배리 마주르 지음

박병철 옮김

승산 펴냄

제곱하면 -1이 되는 수, 허수.

이 책은 현실적인 양으로는 어림할 수 없는 허수를 상상하고 구체화하기 위해 노력했던 수학자들의 업적을 아름답고 우아하게 설명한다. 대수학에서 허수의 존재가 드러나는 과정, 그리고 복소 평면의 도입에 의해 대수학과 기하학이 만나는 과정을, 문학에 있어 산문과 시가 만나 산문시가 완성되는 과정에 비유하여 설명한다. 창작자가 개념을 만들어 설명하고 독자가 이를 읽어 이해한다는 점에서 문학과 수학은 일맥상통한다. 모든 것은 이야기다.

훌륭한 번역이었다. 미묘한 언어적 뉘앙스를 적절한 <역자주>로 효과적으로 전달한다.

10 Lessons

10개의 특강으로 끝내는 수학의 모든 것

제리 킹 지음

박영훈 옮김

과학동아북스 펴냄

수학의 뒷얘기보다 수학 자체를 공부해보고 싶어졌다. 이책을 통해 알게된 지식을 순서대로 정리하면 아래와 같다.

• 5줄의 문장으로 자연수를 완벽하게 정의하는 페아노의 공리를 알게 됐다.
• 1+1 = 2에 대한 증명, 소수(prime number)의 개수가 무한함에 대한 증명, n^2 = 1일 경우 n은 유리수가 아님에 대한 증명을 알게 됐다.
• 아울러 초끈이론과 관계 있다는 군(group)의 의미를 알게 됐다.
• 허수와 복소수 체계를 공부하면서 오일러의 아름다운 공식을 알게 됐다.
• 내게 있어 확률과 통계는 고등학교 수학책의 가장 마지막 부분에 있으면서 대입고사에 별로 출제되지 않는 영역이었기 때문에 공부를 건너 뛴 부분이었다. 이제야 이 매력적인 주제에 대해 조금은 이해할 수 있게 됐다. 이제 포커 게임에서 플러시가 나올 확률 정도는 자신 있게 계산할 수 있다.

저자는 책을 마무리하면서 수학을 연구하는 이유는 수학이 유용해서가 아니라 수학이 아름답기 때문이라고 말한다.
번역은 나쁘지 않았다. 오타가 다소 많았는데 이해를 방해할 정도는 아니었다.

아름다움은 왜 진리인가

대칭의 역사

이언 스튜어트 지음

안재권, 안기연 옮김

승산 펴냄

기하학과 대수학의 관계를 알게됐다. 기하학이 다루는 한 점을 x, y로 대신 나타낸 것이 대수학이다. 

수학자들의 자잘한 뒷 이야기와 수학 이론을 반반씩 다룬다. 재미 있는 구성이다. 자연수, 실수, 무리수, 허수 등, 수의 영역이 발전하는 역사와 그런 발전 속에서 유지되는 대칭의 개념을 소개한다. 특히 수학자 리(Lie)가 창안한 군(group)론과 현대 물리학의 초끈이론의 관계에 대해 상당한 분량을 할애해서 소개한다. 친절한 설명이었다. 번역도 좋았다.

이제 수학의 주변 이야기보다 수학 자체를 공부해보고 싶은 호기심이 생겼다. 조만간 도전해봐야겠다.